Det bekräftar Premier League-klubben.
Ødegaard har en längre tid velat lämna den spanska huvudstadsklubben där han fått begränsat med speltid.
– Det känns härligt, en bra chans att ta när möjligheten kom. Det har alltid varit en dröm att spela i Premier League och Arsenal känns som en klubb som passar mig, säger Ødegaard i en intervju på Arsenals webbplats.
Den 22-årige offensive mittfältaren skrev på för Real Madrid redan 2015 och detta blir hans fjärde utlåning sedan dess. Ødegaard har också varit i nederländska Heerenveen och Vitesse Arnhem och förra säsongen lagkamrat med svenske landslagsanfallaren Alexander Isak i Real Sociedad.