Det berättade Norrköpingspolisen vid en presskonferens på fredagseftermiddagen.
– Det kan klarläggas att den döda kvinnan och den misstänkte mannen sedan en tid tillbaka haft ett förhållande, säger kriminalinspektör Anders Selevik.
Kvinnan hittades på torsdagseftermiddagen död i den misstänkte mannens bostad på Stora Allén, i samband med att polisen vid 13.30-tiden gjorde en husrannsakan efter nattens mordbrand i en villa på Norra Storängsvägen.
– Även kvinnan har bott där den senaste tiden, säger Anders Selevik.
Den döda 20-åriga kvinnans familj bor i den villa där det brann, natten till torsdagen efter att någon tände eld på huset. Polisen har kunnat konstatera att den misstänkte haft med sig en dunk med brännbar vätska.
Mannen greps vid tvåtiden på natten vid Coop i Finspång efter en biljakt.
– Det blev ett dramatiskt gripande där vi bland annat fick använda tårgas, berättar Anders Selevik.
Händelsen rubriceras som mordbrand och den 32-årige mannen sitter även anhållen för detta grova brott.
– Vi förhörde honom klockan halvsex på torsdagsmorgonen men då ville han inte svara på några frågor.
Senare på eftermiddagen på torsdagen, i samband med en husrannsakan i den misstänkte mordbrännarens bostad hittades den 20-åriga kvinnan död.
– Vi är relativt säkra på att hon blivit mördad, säger Selevik.
Polisen tror sig veta hur kvinnan mördats men vill på fredagen inte gå in på det.
Efter att 32-åringen delgavs misstanke om mordet så pratade han med polisen på kvällen.
– Han svarade på våra frågor i 1,5 timme.
32-åringen inställning till misstankarna vill inte polisen kommentera.
Det finns inga mer misstänkta.
Polisen bekräftar också att det funnits en osämja mellan den mördade kvinnans familj och den misstänkte 32-åringen. Det har förekommit diverse polisanmälningar från båda håll, både från offrets pappa och den misstänkte mördaren och mordbrännaren.
Om anmälningarna har med förhållandet att göra vill inte polisen svara på.